chipmunk

Бурундук и гипотеза Кеплера

В поисках идей я предложил читателям задать мне свой вопрос через форму на сайте. Я думал, это будет хорошей идеей.

Это было отличной идеей. Продолжайте задавать свои вопросы.

Сколько подсолнечных семечек может запихнуть в рот бурундук?

Ю

Товарищ Ю, вы шарите в вопросах.

Для начала определимся с исходными данными:

  1. Какой вид бурундука мы будем рассматривать?
  2. Какой вид подсолнуха мы будем рассматривать?

В качестве бурундука я выбрал восточноамериканского бурундука (Tamias striatus), поскольку для него семена подсолнуха будут являться более привычной пищей, чем для сибирского бурундука, в рацион которого подсолнечные семечки были добавлены лишь указом Н. С. Хрущева в 1955 году.

В качестве подсолнуха подойдет типичный подсолнечник однолетний (Helianthus annuus).

Теперь размеры. По семечку проще: согласно надежным источникам (рулетка) семечко подсолнуха имеет среднюю длину 10 мм, ширину 5 мм и толщину 3мм. Для удобства расчетов примем, что семечко имеет форму правильного эллипсоида. Тогда его объем можно рассчитать по формуле:

Vсем = 1/6*πabc = 1/6 * 3.14 * 10 * 5 * 3 = 78,5 мм3

С максимальным размером щек бурундука нам повезло, потому что мы находим очень нужную фразу в авторитетном источнике:

Заполненные защечные мешочки бурундука могут достигать размера его тела. 

Таким образом, чтобы получить объем защечных мешочков бурундука, нужно всего лишь рассчитать объем бурундука в состоянии покоя. 

Можно, конечно, воспользоваться законом Архимеда, но для этого придется утопить бурундука в ведре, что запрещено Европейской конвенцией о защите позвоночных животных, используемых для экспериментов или в иных научных целях.

Поэтому мы воспользуемся тем же трюком с эллипсоидом. Средняя длина бурундука (без хвоста) — 100 мм, среднюю ширину примем равной средней толщине — 40 мм.

Vбур = 1/6*πabc = 1/6 * 3.14 * 100 * 40 * 40 = 83 733.33 мм3

Другой бы на моем месте просто бы разделил объем бурундука на объем семечки и пошел бы спать. Но мы должны быть точнее и учесть, что из-за своей формы семечки займут на весь объем мешочков, а только часть: нужно учесть пустоты между семечками.

Для этого мы можем воспользоваться гипотезой Кеплера.

Гипотеза Кеплера для самых маленьких

У Васи был пустой ящик. Вася положил в ящик три апельсина. Сколько апельсинов стало в ящике?

Правильно, три.

Потом Вася попытался положить в ящик еще 46 апельсинов. Но апельсины не влезали и из ящика вываливались. Тогда Вася пошел на рынок к своему знакомому, дяде Ашоту, и спросил его:

— Дядя Ашот, а как ты укладываешь апельсины в ящик, чтобы в него влезло как можно больше апельсинов?

И дядя Ашот раскрыл ему мудрость веков:

— Сначала я выкладываю на дне ящика квадрат из апельсинов:

1-6665109

— Затем во втором слое я в центре каждого квадрата из четырех апельсинов кладу новый апельсин, вот так:

2-8773929

— И потом я повторяю эти два слоя, пока ящик не закончится:

219754056-8305391

— Вот так и получается положить в ящик максимальное число апельсинов, — закончил дядя Ашот.

Вася задумался.

— Но откуда ты знаешь, что нельзя уложить их никак плотнее? — спросил он.

— Мальчик, ты сомневаешься в моем 40-летнем опыте торговли апельсинами?

— Нет, но вдруг, если я напихаю апельсинов в ящик абы как и хорошенько потрясу, то у меня получится уместить больше апельсинов?

— Ну вот иди и попробуй. Серьезно, иди отсюда, мальчик.

Дома Вася пробовал складывать апельсины и так, и сяк, но все равно метод дяди Ашота оказался самым плотным. На следующий день Вася даже придумал другой метод укладки — но все равно смог лишь повторить рекорд дяди Ашота, а не превзойти его.

Тогда Вася погуглил и узнал, что 400 лет назад Иоганн Кеплер уже использовал метод дяди Ашота в своем трактате. Он даже написал в трактате сложную математическую формулу для расчета того, какая доля ящика будет занята именно шарами:

formula-4747983

И поступил он с этим методом также, как дядя Ашот: просто сказал, что так плотнее всего получается, но не доказал, почему. И с тех пор гипотеза Кеплера оставалась недоказанной 400 лет.

Этим Васей был Томас Хейлс, доказавший гипотезу Кеплера в 1998 году.


Для применения гипотезы Кеплера нам придется принять два допущения:

  1. Семечко будем считать шаром (потому что упоминаний гипотезы Кеплера для семечек я не нашел);
  2. Считаем, что бурундук укладывает семечки в мешочках самым экономичным способом.

Применив гипотезу Кеплера, получаем сложную формулу

n * Vсем/ Vбур = 0.74

n = 0.74 * 83 733,33 / 78,5 = 789 семечек

В более понятных единицах: 250 грамм семечек.

В еще более понятных единицах: жменя.